Μαθηματικά – Τα «προβλήματα» του Σαμ Λόιντ

«Γεννήθηκα από πλούσιους αλλά τίμιους γονείς» ήταν μια αγαπημένη φράση του Σαμ Λόιντ, ίσως και γιατί εκείνος κάποιες φορές κατηγορήθηκε για κλοπή ξένης πνευματικής ιδιοκτησίας. Με επίδικο τις περισσότερες φορές κάποιο μαθηματικό πρόβλημα που τον κατηγορούσαν ότι το είχε υποκλέψει από άλλον «κατασκευαστή». Χωρίς βέβαια να πάψει να θεωρείται ως ο καλύτερος που εμφανίστηκε ποτέ στο να κατασκευάζει σκακιστικά και μαθηματικά προβλήματα.

Αμερικανός, γεννημένος το 1841 στη Φιλαδέλφεια, ήταν ο μικρότερος από οκτώ αδέλφια. Ξεχώρισε από μικρή ηλικία για την ικανότητά του στο να φτιάχνει τρικ, να μιμείται, να δίνει παραστάσεις ως εγγαστρίμυθος. Στα δεκαέξι του εξέδιδε μηνιαίο περιοδικό για το σκάκι και στα δεκαεπτά του πούλησε μια από τις πιο διάσημες σπαζοκεφαλιές του, το «Trick Donkeys», σε έναν ιδιοκτήτη τσίρκου έναντι ενός ποσού που αντιστοιχούσε σε τριακόσιες χιλιάδες δολάρια, σημερινά χρήματα. Πρόκειται για ένα τρίπτυχο σε κάπως σκληρό χαρτί με δύο υποζύγια και δύο καβαλάρηδες, όλα ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, που όταν διπλωθεί κατάλληλα βρίσκονται όλα στη θέση τους σε μια ωραία σύνθεση (βλ. https://en.wikipedia.org/wiki/Famous_Trick_Donkeys). Αυτό είναι ένα από τα πιο διάσημα του Σαμ Λόιντ, που έφθασε στη συνέχεια να έχει πωλήσει 100 εκατομμύρια αντίτυπα.

Ενα άλλο διάσημο κατασκεύασμα αυτού του τύπου είναι το περίφημο «Fifteen», δηλαδή το 15. Το γνωστό με τις δεκαπέντε θέσεις-τετραγωνάκια όπου υπάρχουν δεκατέσσερα συρόμενα κοκάλινα ή ξύλινα αριθμημένα τετράγωνα τοποθετημένα ανάκατα και πρέπει κάποιος να τα βάλει όλα στη σειρά από το 1 έως το 14, αφήνοντας κενό το τελευταίο κάτω δεξιά τετράγωνο.

Υπολογίζεται πως υπάρχουν περισσότερες από 20 δισεκατομμύρια διατάξεις των τετραγώνων αυτών αλλά κάποιες από αυτές δεν επιτρέπουν να φθάσει κάποιος στην τελική επιθυμητή διάταξη, όπως αυτή περιγράφηκε πριν. Ο Σαμ Λόιντ, που ήταν πολύ καλός στα Μαθηματικά, το γνώριζε αυτό και λανσάρισε μια δική του παραλλαγή του «14» αλλά θεωρείται ότι δεν το είχε επινοήσει εκείνος αρχικά παρότι επέμενε μέχρι τον θάνατό του ότι ήταν αυτός ο εμπνευστής του.

Οι πωλήτριες των μήλων

Δικό του όμως ήταν ένα από τα πιο χαρακτηριστικά προβλήματα που επινόησε και δημοσίευσε. Το διάσημο στον καιρό του «The Covent Garden Problem». Δύο πωλήτριες μήλων, η Α και η Β, σε υπαίθρια αγορά πωλούσαν η μια τα δικά της μήλα τα 2 προς 1 ευρώ, ενώ η άλλη τα έδινε τα 3 προς 1 ευρώ, επειδή ίσως εκείνα ήταν μικρότερα. Κάποια στιγμή η Β χρειάστηκε να αφήσει επειγόντως το πόστο της και παραδίδει τα μήλα της, που εκείνη τη στιγμή ήταν ίσα σε πλήθος με τα μήλα της άλλης,  στην Α. Εκείνη ανακατεύει τις δύο κατηγορίες μήλων και αρχίζει να πουλάει τα 5 προς 2 ευρώ. Τα πούλησε όλα και την επόμενη ημέρα ήλθε η ώρα της μοιρασιάς των χρημάτων. Πήραν από μισά η καθεμία, όμως βρέθηκε ότι κάπου έλειπαν 7 ευρώ. Το πρόβλημα ζητούσε να βρεθεί πόσα έχασε η Α από αυτή την ιστορία. Οι αναγνώστες έχουν την ευκαιρία και μία εβδομάδα καιρό για να προσπαθήσουν να λύσουν αυτό το πρόβλημα.

Πνευματική Γυμναστική

Αυτή την εβδομάδα ο Σαμ Λόιντ είναι υπεύθυνος και για την «πνευματική γυμναστική»:

1Τέσσερις γάτες και τρία γατάκια ζυγίζουν 37 κιλά. Τρεις γάτες και τέσσερα γατάκια ζυγίζουν 33 κιλά. Πόσο ζυγίζει μια γάτα και πόσο ένα γατάκι [θεωρώντας πως σε κάθε σύνολο (γάτες, γατάκια) τα μέλη του ζυγίζουν ακριβώς το ίδιο];

2Ξεκινώντας στην παλιά εποχή για ένα από τα μεγάλα υπαίθρια πανηγύρια χρησιμοποιήθηκαν όλες οι άμαξες της κωμόπολης και η καθεμία κουβαλούσε ακριβώς τον ίδιο αριθμό ανθρώπων. Στο μέσον της διαδρομής 10 άμαξες δεν άντεξαν το βάρος τους και έτσι αναγκάστηκαν να φορτώσουν από έναν ακόμη επιβάτη στις υπόλοιπες. Στην επιστροφή διαπίστωσαν πως ακόμη 15 ήταν εκτός λειτουργίας και έπρεπε να φορτωθούν οι υπόλοιπες με 3 περισσότερους από όσους είχαν το πρωί. Πόσος κόσμος μεταφέρθηκε με τις άμαξες;

Οι λύσεις των προηγούμενων κουίζ

1. Τρεις ήρωες από τα κόμικς, ο Μπι, η Τζι και ο Ρο, είναι φυλακισμένοι από τον κακό της ιστορίας και αυτός τους έχει κάνει μια ένεση με δηλητήριο που θα τους σκοτώσει σε 5 λεπτά. Mπροστά τους υπάρχουν οκτώ κουτιά: Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ. Το ένα μόνο έχει μέσα ένα μπουκαλάκι με αντίδοτο για το δηλητήριο, τα άλλα περιέχουν μόνο νερό. Τους δίνει ένα κλειδί που τα ανοίγει όλα αλλά λειτουργεί μόνο για μία φορά. Εξω από κάθε κουτί υπάρχει μια ταινία. Στο κουτί με το αντίδοτο η ταινία είναι εμποτισμένη με μια σταγόνα από αυτό, όχι αρκετή για να γλιτώσει κάποιον από τη δηλητηρίαση αλλά με το εξής χαρακτηριστικό: Οποιος ακουμπήσει τη γλώσσα του σε αυτή την ταινία, μετά από 3 λεπτά ακριβώς αισθάνεται μια ελαφριά και ακίνδυνη παράλυση. Για να σωθούν λοιπόν οι τρεις ήρωες θα πρέπει να κάνουν τα εξής: Στο πρώτο κιόλας λεπτό ο Μπι ακουμπάει τη γλώσσα του στις ταινίες των κουτιών Α, Β, Γ, Δ. Η Τζι κάνει το ίδιο για τα κουτιά Β, Γ, Ε, Ζ και ο Ρο για τα Β, Δ, Ε, Η. Μετά από 3 λεπτά αν μόνο η γλώσσα του Μπι παραλύσει τότε το αντίδοτο είναι στο Α. Αν και οι γλώσσες των τριών παραλύσουν, τότε ανοίγουν το Β. Και μετά με ανάλογους συλλογισμούς: προκύπτουν ότι αν παραλύσουν οι γλώσσες των Μπι-ΤζιëΓ, Μπι-ΡοëΔ, Τζι-ΡοëΕ, ΜπιëΖ, ΡοëΗ, κι αν κανενός δεν παρέλυσε η γλώσσα το αντίδοτο είναι στο Θ.
2. Είχαμε έναν τετραψήφιο ακέραιο θετικό αριθμό που είναι και τέλειο τετράγωνο. Αυξάνοντας κατά μία μονάδα όλα τα ψηφία του, προκύπτει άλλος, επίσης τέλειο τετράγωνο. Ζητούσαμε τους δύο αυτούς αριθμούς. Και η αφετηρία για τη λύση θα είναι πως αν στον μικρότερο τετραψήφιο αυξήσουμε όλα τα ψηφία του κατά μία μονάδα είναι σαν να του προσθέτουμε τον αριθμό 1111. Εστω λοιπόν Μ2 και Ν2 τα τετράγωνα των δύο ζητούμενων αριθμών, που θα διαφέρουν κατά 1111, οπότε θα ισχύει: Ν2 – Μ2 = 1111 και η διαφορά τετραγώνων δίνει: (Ν – Μ)(Ν + Μ) = 1111 με το (Ν – Μ) να είναι μικρότερο του (Ν + Μ). Ο 1111 μπορεί να είναι το γινόμενο 1 Χ 1111 ή το γινόμενο των 11 Χ 101. Η πρώτη περίπτωση δεν οδηγεί σε κάποιο σωστό αποτέλεσμα. Στη δεύτερη, αν (Ν – Μ) = 11 και (Ν + Μ) = 101 τότε Ν = 56 και Μ = 45. Τα τετράγωνά τους είναι 3136 και 2025…

Έντυπη έκδοση Το Βήμα