
Στο προηγούμενο είχαμε αφήσει τους μικρούς να παίζουν διπλώνοντας ξανά και ξανά τη χάρτινη ταινία για να τη χωρίσουν με ακρίβεια σε τόσα ίσα τμήματα όσα τα δάχτυλα του χεριού τους (ακόμη δεν τους έχουμε κάνει καθόλου λόγο για αριθμούς) και τους μεγάλους να προβληματίζονται με το γιατί αυτής της μεθόδου, όπου ο κατ’ εκτίμηση πρώτος χωρισμός και τα διαδοχικά διπλώματα μηδενίζουν τελικά το λάθος της πρώτης εκτίμησης. Πρόκειται για μια μέθοδο γνωστή ως Fujimoto’s Approximation και δουλεύει υποδιπλασιάζοντας κάθε φορά το λάθος.
Απόδειξη
Τα σύνεργα για την απόδειξη είναι πολύ απλά. Στην ταινία έχουμε ορίσει την αρχή της αριστερά ως σημείο μηδέν και το τέλος της δεξιά ως σημείο 1. Το πρώτο δίπλωμα εκεί που κάναμε την αυθαίρετη εκτίμηση σε σχέση με την αρχή 0 θα είναι σε απόσταση (1/5) + ε, όπου το ένα πέμπτο αυτό είναι το απόλυτα σωστό που ακόμη δεν γνωρίζουμε την ακριβή του θέση και ε είναι το πόσο μπορεί να έχουμε πέσει έξω κάνοντας εκεί το πρώτο δίπλωμα (ούτε αυτό το ξέρουμε). Ο,τι μένει από την υπόλοιπη ταινία θα είναι ίσο με [(4/5) – ε]. Διπλώνουμε αυτό ακριβώς το τμήμα στην μέση, οπότε το κάθε μισό του θα έχει μήκος [(2/5) – (ε/2)]. Αρα η δεύτερη τσάκιση θα είναι στο σημείο [(1/5) + ε] +[(2/5) – (ε/2)], δηλαδή στο σημείο (3/5) + (ε/2). Από αυτό το σημείο διπλώνουμε ξανά μέχρι την άκρη της ταινίας δεξιά. Η τσάκιση θα βρίσκεται στη θέση (3/5) + (ε/2) + [(1/2)((2/5) – (ε/2)]. Και μετά τις πράξεις βρισκόμαστε στο σημείο [(4/5) + (ε/4)] που χωρίζει το τέταρτο από το πέμπτο τμήμα. Το μήκος του θα είναι ίσο με 1 – [(4/5) + (ε/4)], δηλαδή (1/5) – (ε/4).
Και τι παρατηρούμε; Οτι σε κάθε νέο υπολογισμό το σφάλμα γίνεται το μισό. Πόσο είναι τώρα το υπόλοιπο τμήμα της ταινίας; Θα είναι (4/5) + (ε/4). Διπλώνοντας τώρα από δεξιά προς τα αριστερά με τον ίδιο τρόπο από αυτό το κομμάτι, το μισό του θα είναι (2/5) + (ε/8). Και η τσάκιση θα είναι στο σημείο αυτό. Αν διπλώσουμε από αυτό το σημείο προς τα αριστερά για άλλη μια φορά καταλήγουμε στο σημείο [(1/2)((2/5) + (ε/8))], δηλαδή στο [(1/5) + (ε/16)]. Και αυτό τι μας δείχνει; Οτι κάνοντας αυτό το πήγαινε-έλα μειώσαμε ήδη το λάθος στην εκτίμησή μας κατά 16 φορές. Και αν συνεχίσουμε άλλον έναν γύρο θα μειωθεί ακόμη περισσότερο.
Το παιχνίδι συνεχίζεται
Εδώ δεν τελειώνει το θέμα, διότι μπορείς να δοκιμάσεις και άλλες διατμήσεις της ταινίας με περιττό πάντα πλήθος, 7, 9, 11 [άρα δουλεύεις με τα κλάσματα (1/7), (1/9, (1/11) και κάνεις τα ανάλογα]. Στη συνέχεια μπορείς να βρεις την αντίστοιχη έκφραση των κλασμάτων στο δυαδικό σύστημα και αυτές οι εκφράσεις σε επιστρέφουν στη σειρά των αναδιπλώσεων ενώ απροσδόκητα εμφανίζονται άλλα ωραία πράγματα, που ελπίζουμε πως θα τα δούμε και αυτά, αλλά κάπως αργότερα. Διότι οι μικροί περιμένουν ανυπόμονα να συνεχιστεί το παιχνίδι.
Και είναι μια σημαντική στιγμή. Τους βάζουμε το πρόβλημα τι θα κάνουμε αν πρέπει να χωρίσουμε την ταινία σε τόσο πολλά μέρη που δεν φθάνουν όλα τα δάχτυλα των χεριών. Μετά από την ανταλλαγή απόψεων και ιδεών έχουμε και μια λύση έτοιμη. Μοιράζουμε σακουλάκια χάρτινα για να μη φαίνεται το περιεχόμενό τους έτσι ώστε κάθε παιδί να πάρει κάτι λίγο περισσότερο από δέκα. Μπροστά τους έχουν έναν σωρό από κουμπιά ή καραμέλες ή ό,τι άλλο αντίστοιχα μικρό. Οι οδηγίες είναι ως εξής: Να κρατήσουν ένα σακουλάκι άδειο. Στο επόμενο να βάλουν ένα κουμπί. Στο τρίτο να βάλουν όσα είχε το προηγούμενο και ένα ακόμη. Προχωρούμε έτσι προσθέτοντας ένα επιπλέον σε κάθε νέο σακουλάκι. Σταματάμε κάπου, όταν έχουμε περάσει πάντως τα δέκα. Στη συνέχεια τους ζητούμε να τοποθετήσουν σε όλα από μια αυτοκόλλητη ετικέτα και να γράψουν σε αυτές από ένα όνομα. Ο,τι τους αρέσει ή να βάλουν με έναν μαρκαδόρο κάποιο σημάδι, διαφορετικό για το κάθε σακουλάκι.
Μια μικρή και επιδιωκόμενη αναστάτωση θα προκληθεί μόλις τους ζητήσουμε να βρουν από άλλο παιδί και να ανταλλάξουν φακελάκια με το ίδιο πλήθος κουμπιών. Το ότι θα είναι το ίδιο πλήθος στα δύο φακελάκια θα το βρίσκουν κάνοντας αντιστοιχία ένα προς ένα. Δεν είναι εύκολη δουλειά διότι τα διαφορετικά ονόματα έξω από τα φακελάκια μπερδεύουν αυτή τη δοσοληψία. Και αυτό βέβαια έγινε επίτηδες .
Ο αναγνώστης φθάνοντας εδώ θα έχει μαντέψει ήδη το πού θέλουμε να οδηγήσει όλη αυτή η τελετουργία.
Πνευματική Γυμναστική
- Δύο στύλοι με ύψος 15 μέτρα ο καθένας είναι μπηγμένοι κάθετα στο έδαφος. Ενα καλώδιο μήκους 16 μέτρων έχει τα δύο άκρα του στερεωμένα στις κορυφές των στύλων και κρέμεται προς τα κάτω. Αν η απόσταση από το κατώτερο σημείο του καλωδίου μέχρι το έδαφος είναι 7 μέτρα, ποια είναι η οριζόντια απόσταση των δύο στύλων μεταξύ τους;
- Μια λαίμαργη ακρίδα τρώει τα φύλλα ενός δέντρου. Την πρώτη ημέρα τρώει ένα μόνο φύλλο αλλά την επόμενη τρώει 2, τη μεθεπόμενη 4 και κάθε ημέρα διπλασιάζει την ποσότητα των φύλλων που τρώει. Μέχρι που την 30ή ημέρα τρώει και τα τελευταία φύλλα. Ποια ημέρα ήταν που είχε φάει ακριβώς τα μισά φύλλα;
Οι λύσεις των προηγούμενων κουίζ
- Ενα παιδί έχει στο σακίδιό του Ν αριθμό καραμέλες. Πηγαίνει επίσκεψη διαδοχικά στα σπίτια 20 φίλων του. Σε κάθε σπίτι αφήνει τις μισές καραμέλες και εκείνοι για ευχαριστώ του δίνουν μία. Μετά την εικοστή επίσκεψη του είχαν μείνει 2 καραμέλες. Με πόσες καραμέλες στο σακίδιο ξεκίνησε; Με δύο καραμέλες το πολύ, στο ξεκίνημα, μπορεί να γίνει όλη αυτή η διαδικασία.
- Φτιάχνουμε δεκαψήφιους αριθμούς με τα ψηφία από το 0 έως το 9 να εμφανίζονται μόνο μία φορά σε κάθε αριθμό. Συνολικά προκύπτουν 3.628.800 τέτοιοι διαφορετικοί αριθμοί. Πόσοι από αυτούς είναι πρώτοι; Η απάντηση είναι κανένας, διότι το άθροισμα όλων των ψηφίων από το 1 έως το 9 δίνει 45, που είναι διαιρετό με το 3 και το 9, άρα από όλους αυτούς τους αριθμούς κανένας δεν είναι πρώτος.


Latest News

Η Arm ήθελε εξαγορά της Alphawave για να βάλει στο χέρι την τεχνολογία SerDes
Αυτό που... κέντρισε το ενδιαφέρον της Arm ήταν μία συγκεκριμένη τεχνολογία της Alphawave που καθορίζει πόσο γρήγορα οι πληροφορίες μπορούν να εισαχθούν αλλά και να εξαχθούν από ένα μικροτσίπ

Ο Michael Kratsios σε θέση «κλειδί» στον Λευκό Οίκο - Τα «πυρά» στην Κίνα από το OT Forum
Ο Michael Kratsios θα βρίσκεται στην αιχμή του δόρατος της τεχνολογικής μάχης των ΗΠΑ με την Κίνα στην τεχνητή νοημοσύνη

Ανάδειξη καινοτόμων ιδεών με το Beyond Tomorrow Competition
Ο διαγωνισμός Beyond Tomorrow Competition υλοποιείται με την στήριξη των HDB, KPMG και ΕΚΚΟΜΕΔ Creative Greece

Kaspersky: Πώς να μετατρέπετε αρχεία με ασφάλεια
Οι ιστοσελίδες μετατροπής αρχείων στο διαδίκτυο αποτελούν έναν ελκυστικό τρόπο για να αλλάξετε τη μορφή των αρχείων σας, αλλά ενέχουν κινδύνους

Πόλος έλξης η Δ. Μακεδονία για data centers αμερικανικών κολοσσών - Το project της ΔΕΗ
Το σχέδιο της ΔΕΗ για data centers στη Δυτική Μακεδονία, το αμερικανικό ενδιαφέρον και οι κινήσεις των άλλων παικτών

Το 50% των τσιπ κέντρων δεδομένων φέτος θα έχει σχεδιαστεί από την Arm
Οι επεξεργαστές της Arm αποκτούν δημοτικότητα λόγω της χαμηλότερης κατανάλωσης ενέργειας - Οι Amazon, Google, Microsoft σχεδιάζουν τσιπ κέντρων δεδομένων που βασίζονται σε τεχνολογία της Arm

Η ΕΕ βάζει την Big Tech στο κάδρο του εμπορικού πολέμου - Ερχονται πρόστιμα σε Apple και Meta
Με φόντο την κλιμάκωση του εμπορικού πολέμου η Κομισιόν ετοιμάζεται να επιβάλει πρόστιμα στην αφρόκρεμα των αμερικανικών τεχνολογικών εταιρειών

Νορβηγία: Συνετρίβη ο πρώτος τροχιακός πύραυλος που εκτόξευσε η Ευρώπη
Ο πύραυλος εκτοξεύτηκε από διαστημοδρόμιο στη Νορβηγία - Η γερμανική εταιρεία Isar Aerospace είχε κάνει λόγο για «αρχική δοκιμή»

Ήρθε για να μείνει - Το blockchain, οι εφαρμογές του και οι προκλήσεις
Το blockchain είναι μια τεχνολογία που έχει αλλάξει ριζικά τον τρόπο που αντιλαμβανόμαστε τις συναλλαγές

Η τρέλα της OpenAI για το Ghibli... που πήρε περίεργη τροπή
Τα social media έχουν κατακλυστεί με εικόνες στο στυλ του ιαπωνικού οίκου κινουμένων σχεδίων Studio Ghibli που έχει ενσωματώσει της OpenAI