Μαθηματικά: Η λογική του «Αν και μόνον αν»

Επιστροφή στον «καλό μας φίλο Σμούλιαν» και κάνουμε… ζέσταμα, με προπονητή τον Τζορτζ Μπούλος, για να καταφέρουμε να καταλάβουμε ένα από τα δυσκολότερα προβλήματα Λογικής που κατασκεύασε ο ακούραστος Ρέιμοντ Σμούλιαν. Βασικό εργαλείο γι’ αυτό θα είναι το «Αν και μόνον αν», που συνήθως συμβολίζεται με το «iff» από το αγγλικό: If-and-only-If. Tο iff λειτουργεί ως εξής: Οταν βρίσκεται ανάμεσα σε δύο προτάσεις που είναι είτε και οι δύο ψευδείς είτε και οι δύο αληθείς η απάντηση από το όλο συγκρότημα θεωρείται πως είναι αληθής. Αν όμως είναι μία αληθής και μία ψευδής τότε η απάντηση θεωρείται ψευδής.

Συναντάμε λοιπόν στο νησί που κατοικούν μόνον Ειλικρινείς και Ψεύτες έναν Ειλικρινή. Αλλά εκεί το ναι και το όχι προφέρονται «ντα» και «τζα» και δεν γνωρίζουμε σε τι αντιστοιχεί το καθένα. Τι θα ρωτήσουμε τον Ειλικρινή για να πάρουμε απάντηση στο ερώτημα αν ο Πλούτων ανήκει στους νάνους πλανήτες; Η ερώτηση που προτείνει ο Μπούλος προς τον Ειλικρινή είναι: «Το ντα σημαίνει ναι αν και μόνον αν ο Πλούτων ανήκει στους νάνους πλανήτες;». Ο Ειλικρινής θα απαντήσει «ντα» αν ο Πλούτων ανήκει στους νάνους πλανήτες και «τζα» αν δεν ανήκει, χωρίς να γνωρίζουμε ακόμη ποιο είναι το ναι και ποιο το όχι.

Συνδυάζοντας τα δύο παραπάνω σε ένα ρωτάμε: «Το ντα σημαίνει ναι αν και μόνον αν είστε Ειλικρινής και αν και μόνον αν ο Πλούτων ανήκει στους νάνους πλανήτες;». Παίρνουμε την απάντηση «ντα» αν ο Πλούτων ανήκει στους νάνους πλανήτες και «τζα» αν δεν ανήκει, ανεξάρτητα αν αυτός που απάντησε είναι Ειλικρινής ή Ψεύτης.

Εξάσκηση

Η τρίτη προκαταρκτική άσκηση είναι πολύ πιο ενδιαφέρουσα: Βάζουν μπροστά μας γυρισμένα, ώστε να μη φαίνεται τι είναι το καθένα, τρία φύλλα της τράπουλας που είναι δύο άσοι και ένας βαλές. Μόνον αυτός που το τοποθέτησε εκεί ξέρει ποιο είναι ποιο ενώ εμείς δεν το γνωρίζουμε. Πρέπει να κάνουμε μια ερώτηση που να δέχεται απάντηση «Ναι» ή «Οχι» δείχνοντας ταυτόχρονα κάποιο από τα τρία φύλλα ώστε με σιγουριά να καταλάβουμε πού βρίσκεται ο ένας από τους άσους. Οι κανόνες είναι: α) Αν δείξουμε φύλλο που είναι άσος η απάντηση στην ερώτηση θα είναι ειλικρινής, β) αν δείχνουμε στο φύλλο με τον βαλέ ο άλλος έχει δικαίωμα να απαντήσει με ναι ή όχι αλλά εντελώς στην τύχη (ό,τι του κατέβει). Το πρόβλημα προς λύση είναι ποιο φύλλο δείχνεις και τι ρωτάς εκείνη τη στιγμή;

Η απάντηση είναι δείξε οποιοδήποτε φύλλο και ρώτα αν κάποιο από τα άλλα δύο είναι άσος. Π.χ. δείχνεις το μεσαίο και ρωτάς αν το αριστερό είναι άσος. Αν το μεσαίο που δείχνουμε είναι άσος, ο άλλος πρέπει να απαντήσει με ειλικρίνεια, άρα θα πει ναι αν πράγματι το αριστερό είναι άσος ή θα πει όχι, οπότε το δεξί είναι σίγουρα άσος. Αν το μεσαίο είναι βαλές η απάντηση είναι τυχαία, αλλά δεν έχει σημασία διότι και τα δυο άλλα φύλλα είναι άσοι, οπότε όποιο και να σηκώσουμε κερδίζουμε. Στην ουσία δείχνουμε ένα φύλλο και ρωτάμε για κάποιο άλλο. Οι πλέον… επιμελείς αναγνώστες θα θυμούνται ότι είχαμε συναντήσει στις πρώτες συνέχειες γύρω από τον Σμούλιαν αυτό το τέχνασμα.

Τo πρόβλημα!

Τώρα είμαστε έτοιμοι να αντιμετωπίσουμε ένα από θεωρούμενα ως δυσκολότερα προβλήματα Λογικής: Τρεις θεοί, ο Α ο Β και ο Γ, σε σχέση με τη συμπεριφορά τους είναι γνωστοί ως ο Αληθινός, ο Λάθος και ο Απρόβλεπτος. Αλλά δεν είναι γνωστό σε ποιον προσάπτουν αυτούς τους χαρακτηρισμούς. Ο Αληθινός δεν λέει ψέματα, ο Λάθος δίνει επίτηδες παραπλανητικές απαντήσεις και ο Απρόβλεπτος απαντά όπως του έρθει. Για να προσδιοριστεί ποιος είναι ποιος πρέπει να γίνει στον καθένα από μία ερώτηση που θα δέχεται ως απάντηση μόνο ναι ή όχι. Η ερώτηση μπορεί να γίνει στη γλώσσα μας αλλά οι θεοί, όντας θεοί, απαντούν μόνο στη δική τους θεϊκή γλώσσα που αντί για ναι, όχι χρησιμοποιεί τις λέξεις «ντα» και «τζα», αλλά δεν γνωρίζουμε εμείς ποια είναι για το ναι και ποια για το όχι.